Die Würfelschlange

Würfelschlange
Würfelschlange

Die Idee hierfür stammt aus dieser Quelle: Mathematikum Gießen

Diese Experiment kann jeder selbst zuhause durchführen. Sie benötigen lediglich eine größere Anzahl gewöhnlicher Spielwürfel, mindestens 50 Stück.

So geht's

Werfen Sie mit allen Würfeln und bringen Sie sie in eine Reihenfolge ("Würfelschlange"). Betrachten Sie nun die Augenzahl des ersten Würfels und zählen Sie in Ihrer Würfelschlange so viele Würfel nach vorne. Nehmen Sie nun die Augenzahl des Würfels, bei dem Sie im ersten Schritt angekommen sind, und zählen Sie wiederum so viele Würfel nach weiter. Setzen Sie dieses Verfahren so lange fort, bis Sie bei einem Würfel angekommen sind, von dem aus Sie die Würfelschlange verlassen müssten. Die Würfel hinter diesem letzten Würfel legen Sie beiseite. Das folgende Bild veranschaulicht dieses Verfahren:

tl_files/StandardthemeMM/Fachschaft_Mathematik/Fotos Mathematik zum Anfassen/Wuerfelschlange/_Wuerfelschlange_01.jpg

Nehmen Sie nun den ersten Würfel der Würfelschlange und würfeln Sie. Die anderen Würfel bleiben unverändert. Führen Sie das oben beschriebene Verfahren erneut durch und nehmen Sie wieder die "Restwürfel" aus der Würfelschlange. Wiederholen Sie dieses Verfahren so lange, bis keine Würfel mehr aus der Würfelschlange genommen werden müssen.

Wie viele Würfel sind am Schluss übrig geblieben? Sie mussten lediglich beim ersten Durchgang Würfel aus der Schlange nehmen? Das überrascht uns nicht.

Sie können das Experiment gern noch einmal von vorn beginnen und werden immer das gleiche Ergebnis erhalten. Halt! Wie das beim Würfeln so ist, spielt natürlich der Zufall eine Rolle. Deswegen klappt es auch nur fast immer. Aber je mehr Würfel Sie benutzen, um so sicherer klappt es.

Wie funktioniert's

In unserem Beispiel zeigt beim ersten Durchgang der erste Würfel die Augenzahl 3 (Abb. 1). Alle Würfel, auf die man bei diesem Durchgang stößt, sind mit roten Kreisen markiert und bleiben auch bei den folgenden Bildern rot markiert.

Die folgenden Bilder (Abb. 2 - 6) zeigen die anderen möglichen Startzahlen. Die Würfel, auf die man dabei stößt, sind jeweils mit blauen Kreisen markiert. Man sieht, dass man früher oder später auf einen rot markierten Würfel stößt. Damit endet man auf demselben Würfel wie bei der ursprünglichen Augenzahl des ersten Würfels.

tl_files/StandardthemeMM/Fachschaft_Mathematik/Fotos Mathematik zum Anfassen/Wuerfelschlange/_Wuerfelschlange_01.jpg tl_files/StandardthemeMM/Fachschaft_Mathematik/Fotos Mathematik zum Anfassen/Wuerfelschlange/_Wuerfelschlange_02.jpg
Abb. 1: Startzahl 3
Abb. 2: Startzahl 1
tl_files/StandardthemeMM/Fachschaft_Mathematik/Fotos Mathematik zum Anfassen/Wuerfelschlange/_Wuerfelschlange_03.jpg tl_files/StandardthemeMM/Fachschaft_Mathematik/Fotos Mathematik zum Anfassen/Wuerfelschlange/_Wuerfelschlange_04.jpg
Abb. 3: Startzahl 2
Abb. 4: Startzahl 4
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Abb. 5: Startzahl 5
Abb. 6: Startzahl 6

 

Manchmal funktioniert's auch nicht

Hier zwei Beispiele, bei denen es nicht funktioniert:

Beispiel 1: Beispiel 2:
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In diesem Beispiel wurde die Würfelschlange so gelegt, dass jeder sechste Würfel die Augenzahl 6 zeigt. D. h. für die Augenzahl 6 beim ersten Würfel geht man stets sechs Würfel weiter. Diese Würfel sind mit roten Kreisen markiert. Die nicht rot markierten Würfel sind so gelegt, dass sie nie zu einem rot markierten Würfel führen. Das bedeutet, dass eine von 6 verschiedene Augenzahl des ersten Würfels nie auf die rot markierte Reihe führt und so beim Wechsel zwischen der Augenzahl 6 und einer anderen Augenzahl immer wieder Würfel von der Schlange weggenommen werden müssen.


In diesem Beispiel wurde die Würfelschlange so gelegt, dass zwei verschiedene Reihen entstehen, die sich nie überschneiden. Ist die Augenzahl des Anfangswürfels 1, 3, 4 oder 6, so gelangt man auf die rote Reihe, für die Augenzahl 2 und 5 auf die blaue Reihe. So müssen beim Wechsel zwischen den zwei unterschiedlichen Reihen immer wieder Würfel von der Schlange weggenommen werden.

 

Mit welcher Wahrscheinlichkeit funktioniert's?

Wir haben zwei Abschätzungen für die Wahrscheinlichkeit, dass man bei 60 Würfeln unabhängig von der Augenzahl des Startwürfels stets beim gleichen Endwürfel landet, gefunden:

Die Albert-Schweizer-Schule in Kassel liefert eine Abschätzung nach unten (Quelle nicht mehr im Netz):

Beim ersten Durchgang wird jeder Würfel, auf dem man landet, markiert. Startet man mit einer anderen Augenzahl beim ersten Würfel, so beträgt bei jedem Schritt die Wahrscheinlichkeit, auf einem markierten Würfel zu landen, mindestens 1/6, damit ist die Wahrscheinlichkeit, auf einem nicht-markierten Würfel zu landen, höchstens 5/6. Bei insgesamt 60 Würfeln benötige ich mindestens 10 Schritte. Sobald man einmal auf einem markierten Würfel gelandet ist, landet man immer wieder auf markierten Würfeln. D. h. man muss die Wahrscheinlichkeit berechnen, bei 10 Versuchen mindestens einmal auf einem markierten Würfel zu landen.

Also beträgt die Mindestwahrscheinlichkeit, am Ende der Schlange unabhängig von der Startzahl, auf demselben Würfel zu landen, 1-(5/6)^10 = 84 %

Der BerMuMa (Förderverein zur Schaffung eines Mathematikmuseums in Berlin e. V) liefert hingegen eine Abschätzung nach oben:

Man denkt sich wiederum die Würfel, auf denen man beim ersten Durchgang landet, als markiert. Nun startet man mit einer anderen Augenzahl am Beginn der Schlange. Im Mittel kommt man mit jedem Schritt 3,5 Würfel weiter, d. h. man benötigt im Mittel etwa 17 Schritte bis zum Ende der Schlange. Da auch beim ersten Durchgang die mittlere Schrittlänge 3,5 Würfel beträgt, landet man also mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3,5=2/7 auf einem markierten und mit einer Wahrscheinlichkeit von 1-2/7=5/7 auf einem nicht-markierten Würfel. Aufgrund dieser Annahmen errechnet man, dass die Wahrscheinlichkeit höchstens 11-(5/7)^17=99,7% beträgt, am Ende der Schlange stets wieder auf demselben Würfel zu landen.

Die Abschätzung der Wahrscheinlichkeit über den Erwartungswert führt jedoch dazu, dass die berechnete Wahrscheinlichkeit zu hoch ist, also eine Abschätzung nach oben darstellt.

Ein (ehemaliger) Schüler unserer Schule entwickelte ein Simulationsprogramm. Mithilfe dieser Simulation ermittelt man, dass die relative Häufigkeit, bei 60 Würfeln stets beim gleichen Endwürfel zu landen, etwas weniger als 99% beträgt.


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